جبر بول: قوانین بازی صفر و یک

جبر بول چیست؟

چند قرارداد نمادی که باید روان شوی: $A^{\prime }$ یا $\bar{A}$ یعنی NOTِ A؛ $A\cdot B$ یا AB یعنی A AND B؛ و $A+B$ یعنی A OR B. دقت کن + اینجا «یا»ست، نه جمع حسابی: $1+1=1$.

اصول بدیهی: نقطهٔ شروع

کل جبر بول از چند اصل ساده ساخته می‌شود (برای هر متغیر x):

• $x+0=x$ و $x\cdot 1=x$ — عضو خنثی.
• $x+1=1$ و $x\cdot 0=0$ — عضو جاذب.
• $x+x^{\prime }=1$ و $x\cdot x^{\prime }=0$ — مکمل.

بقیهٔ قضایا از همین‌ها اثبات می‌شوند. لازم نیست اثبات‌ها را حفظ کنی؛ ولی بدان که هیچ قانونی از آسمان نیامده است.

قضایایی که واقعاً به کارت می‌آیند

هر قانون را با «کی به درد می‌خورد» یاد بگیر:

• جذب: $x+xy=x$ — وقتی جمله‌ای، جملهٔ دیگر را قورت می‌دهد؛ در ساده‌سازی پرکاربردترین است.
• حذف: $x+x^{\prime }y=x+y$ — جملهٔ اضافه را از داخل پرانتز بیرون می‌کشد.
• دمورگان: نقیضِ جمع می‌شود ضربِ نقیض‌ها و برعکس. پل تبدیل میان AND و OR است و در پیاده‌سازی با NAND/NOR حیاتی می‌شود.
• توزیع‌پذیری دوطرفه: هم AND روی OR توزیع می‌شود ($x(y+z)=xy+xz$) و هم OR روی AND ($x+yz=(x+y)(x+z)$). دومی در جبر معمولی نیست و مخصوص بول است!

اصل دوگانگی: دو قانون بخر، یکی ببر

یعنی لازم نیست هر قانون را جداگانه حفظ کنی: $x+0=x$ و $x\cdot 1=x$ دو روی یک سکه‌اند. این اصل در فصل ۳ دوباره برمی‌گردد: هر روشی برای ساده‌سازی SOP، آینه‌ای برای POS دارد.