مکمل‌ها و اعداد علامت‌دار

مسئله: تفریق بدون مدار تفریق

ساختن یک مدار جمع‌کننده آسان است، اما اگر برای تفریق هم مدار جدا بسازیم، سخت‌افزار دو برابر می‌شود. راه‌حل هوشمندانه: تفریق را به جمع تبدیل کن. یعنی به‌جای $A-B$، حساب کن $A+(\text{مکمل }B)$. برای این کار باید «قرینهٔ» یک عدد دودویی را بلد باشی.

مکمل یک: معکوس‌کردن بیت‌ها

مثلاً مکمل یک $101100$ برابر $010011$ است. ساده است، ولی یک ایراد دارد: دو نمایش برای صفر ($000000$ و $111111$) و برای جمع باید نقلی آخر را دوباره اضافه کرد. به همین دلیل کامپیوترها عملاً از مکمل دو استفاده می‌کنند.

مکمل دو: معکوس کن و یکی اضافه کن

مثلاً مکمل دوی $101100$: اول معکوس کن ($010011$)، بعد یکی اضافه کن → $010100$.

اعداد علامت‌دار: بیت سمت چپ، تابلوی علامت است

در قرارداد مکمل دو برای اعداد علامت‌دار، پرارزش‌ترین بیت، بیت علامت است: صفر یعنی مثبت، یک یعنی منفی. عدد منفی، مکمل دوی قدرمطلقش است.

بازهٔ نمایش با n بیت، از $-2^{n-1}$ تا $+2^{n-1}-1$ است (در ۸ بیت: ۱۲۸− تا ۱۲۷+).

تفریق با جمع — و تشخیص سرریز

تفریق $A-B$ یعنی $A+(\text{مکمل دوی }B)$؛ نقلیِ بیرون‌افتاده از سمت چپ را نادیده بگیر. مثال: $7-5$ در ۴ بیت: $0111+1011=10010$ ← نقلی آخر را دور بینداز → $0010$ یعنی ۲. درست شد.

شهودش ساده است: جمع دو عدد مثبت نباید منفی شود و جمع دو منفی نباید مثبت شود. مثلاً $0111+0001$ (۷+۱ در ۴ بیت) می‌شود $1000$ که خوانده می‌شود ۸−؛ نتیجه غلط است، چون ۸ در بازهٔ ۴ بیتی (تا ۷+) جا نمی‌شود.

خودت امتحان کن: مکمل‌ها زنده

عدد ۹ را در آزمایشگاه ببین: مکمل یک و دوی آن را بخوان و حالت «مکمل دو» را فعال کن تا تفسیر علامت‌دارش را ببینی. بعد عدد را عوض کن و قانون «معکوس کن و یکی اضافه کن» را راستی‌آزمایی کن.